Норма алгебраического числа — теоретико-числовая функция, норма, определённая в конечном алгебраическом расширении поля. Норма алгебраического числа равна произведению всех корней минимального многочлена данного числа. Норма отображает кольцо целых элементов расширения поля в кольцо целых элементов поля. Часто в качестве поля берется поле рациональных чисел , а значит в качестве кольца его целых элементов берется кольцо целых чисел .
Содержание |
Поле - расширение поля рациональных чисел, кольцо его целых элементов - это кольцо гауссовых целых чисел чисел вида . Норма определяется как . Для данной нормы - простое число в тогда и только тогда, когда - простой элемент кольца . Таким образом, в 2 и все простые числа вида разложимы в , а простые вида - неразложимы, поэтому .
Множество обратимых элементов кольца состоит из 4-х элементов: , норма только этих элементов равна 1.
Если - натуральное число, свободное от квадратов, то - действительное квадратичное расширение кольца степени 2, его элементы имеют вид . Норма в определяется как . Множество обратимых элементов кольца состоит из бесконечного множества элементов - всех решений уравнения Пелля .
Норма применяется для решения диофантовых уравнений. Если уравнение имеет вид , где F - норма N некоторого кольца алгебраических чисел K, а - элемент кольца, определенный энкой , то для решения уравнения достаточно найти хотя бы одно решение уравнения и все обратимые элементы кольца . Так могут быть решены обобщенные уравнения Пелля вида .
Норма может применятся для исследования простых элементов колец алгебраических чисел и простых элементов кольца .
| Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Норма алгебраического числа.